UK

AI Tutor Репетитори

Увійти Реєстрація

Panhellenic Exams / Mathematics / Curriculum

Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός

Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for Panhellenic Exams.

Цілі навчання

Recognise, explain, and apply “Αρχική συνάρτηση στο τμήμα που προβλέπεται”.
Recognise, explain, and apply “Ορισμένο ολοκλήρωμα”.
Recognise, explain, and apply “Ιδιότητες ολοκληρώματος”.
Recognise, explain, and apply “Συνάρτηση ολοκλήρωμα”.
Recognise, explain, and apply “Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού”.

Ключові ідеї та перевірки

I connect limit, derivative, and integral with a graph.
I apply rules with the correct conditions.
Every solution or explanation for “Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός” should include a method, justification, and final check.

Розділ

Основна теорія

Ключові ідеї глави у зрозумілій послідовності перед практикою.

01

Change and approximation

Calculus studies how a quantity changes and how small changes accumulate. Graphical interpretation should accompany the notation.

02

Conditions before the rule

Check domain, continuity, or differentiability where required. A correct rule cannot be applied mechanically outside its conditions.

03

Interpret the result

A derivative represents local rate of change and a definite integral represents net accumulation. Always reconnect the result to the original problem.

04

Αρχική συνάρτηση στο τμήμα που προβλέπεται

Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.

05

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.

06

Ιδιότητες ολοκληρώματος

Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.

07

Συνάρτηση ολοκλήρωμα

Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.

08

Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού

Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.

Mathematics

Розв'язані приклади

Дотримуйтесь методу крок за кроком і перевіряйте обґрунтування.

Worked rate-of-change example

For f(x) = x³ - 2x, find the derivative and the gradient at x = 5.

1Differentiate term by term: f'(x) = 3x² - 2.
2Substitute x = 5.
3Interpret the value as the tangent gradient.

f'(x) = 3x² - 2, f'(5) = 73

Reasoning example

Before calculating, explain the key idea from “Αρχική συνάρτηση στο τμήμα που προβλέπεται” and which conditions must be checked.

1Define the idea in one clear sentence.
2Connect it to a representation, law, or formula.
3State a restriction, unit, or final check that makes the solution valid.

The answer should show not only which rule is used for “Αρχική συνάρτηση στο τμήμα που προβλέπεται”, but also why it is valid here.

Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός

Практика з відповідями

Вісім завдань від базових навичок до екзаменаційного рівня. Спочатку виконайте самостійно.

Базова навичка4 хвилин

For f(x)=x²+4x, find f'(x).

Підказка

Use the power rule term by term.

Відповідь

f'(x)=2x+4.

Базова навичка5 хвилин

Find the gradient of f(x)=x²+7x at x=6.

Підказка

Differentiate, then substitute.

Відповідь

f'(6)=2·6+7=19.

Застосування6 хвилин

Find ∫(3x+3)dx.

Підказка

Increase the power by 1 and divide by the new power.

Відповідь

1.5x²+3x+C.

Застосування7 хвилин

Evaluate ∫₀^5 6x dx.

Підказка

Find an antiderivative and apply upper minus lower limit.

Відповідь

3·5² = 75.

Обґрунтування8 хвилин

Find the stationary point of f(x)=x²-4x+9.

Підказка

Set f'(x)=0, then find y.

Відповідь

x=2, y=5=5.

Обґрунтування9 хвилин

If ds/dt=5t+4 and s(0)=9, find s(t).

Підказка

Integrate and use the initial condition.

Відповідь

s(t)=2.5t²+4t+9.

Екзаменаційний10 хвилин

Check whether F(x)=4x²+6x is an antiderivative of f(x)=8x+6.

Підказка

Differentiate F.

Відповідь

F'(x)=8x+6=f(x), so yes.

Екзаменаційний12 хвилин

A learner writes d(x³)/dx=3x. Correct it and explain the rule.

Підказка

The power rule reduces the exponent by 1.

Відповідь

d(x³)/dx=3x².

Типові помилки

Applying a rule without checking domain or continuity.
Omitting the integration constant in an indefinite integral.
Giving a numerical result without graphical or physical interpretation.

Перевірка розуміння

I connect limit, derivative, and integral with a graph.
I apply rules with the correct conditions.
I interpret the result in context.

Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός

Домашня робота до розділу

Шість різних завдань від базового рівня до складного з часом, підказками та відповідями.

Базовий8 хвилин

Homework 1: For f(x)=x²+7x, find f'(x).

Підказка

Use the power rule term by term.

Відповідь

f'(x)=2x+7.

Базовий10 хвилин

Homework 2: Find the gradient of f(x)=x²+3x at x=2.

Підказка

Differentiate, then substitute.

Відповідь

f'(2)=2·2+3=7.

Поглиблений12 хвилин

Homework 3: Find ∫(6x+4)dx.

Підказка

Increase the power by 1 and divide by the new power.

Відповідь

3x²+4x+C.

Поглиблений15 хвилин

Homework 4: Evaluate ∫₀^6 9x dx.

Підказка

Find an antiderivative and apply upper minus lower limit.

Відповідь

4.5·6² = 162.

Складний18 хвилин

Homework 5: Find the stationary point of f(x)=x²-6x+5.

Підказка

Set f'(x)=0, then find y.

Відповідь

x=3, y=-4=-4.

Складний20 хвилин

Homework 6: If ds/dt=8t+5 and s(0)=13, find s(t).

Підказка

Integrate and use the initial condition.

Відповідь

s(t)=4t²+5t+13.

50 хвилин / 40 балів

Повний тест розділу

Повний тест із таймером, балами та зразками відповідей.

Start the timer when ready, work without notes, show every step, and open model answers only after finishing.

1. For f(x)=x²+5x, find f'(x).

2 балів

Відповідь

f'(x)=2x+5.

2. Find the gradient of f(x)=x²+8x at x=2.

3 балів

Відповідь

f'(2)=2·2+8=12.

3. Find ∫(4x+4)dx.

3 балів

Відповідь

2x²+4x+C.

4. Evaluate ∫₀^6 7x dx.

4 балів

Відповідь

3.5·6² = 126.

5. Find the stationary point of f(x)=x²-6x+3.

4 балів

Відповідь

x=3, y=-6=-6.

6. If ds/dt=6t+5 and s(0)=11, find s(t).

4 балів

Відповідь

s(t)=3t²+5t+11.

7. Check whether F(x)=4.5x²+2x is an antiderivative of f(x)=9x+2.

5 балів

Відповідь

F'(x)=9x+2=f(x), so yes.

8. A learner writes d(x³)/dx=3x. Correct it and explain the rule.

5 балів

Відповідь

d(x³)/dx=3x².

9. Model a rate of change connected with “Ορισμένο ολοκλήρωμα” and explain derivative units.

5 балів

Відповідь

A full response defines independent/dependent variables, gives a function or data, and interprets the derivative as output units per input unit.

10. Combine differentiation and integration in an exam-style problem about “Ιδιότητες ολοκληρώματος” and check the result.

5 балів

Відповідь

A full solution defines variables/units, uses a derivative for instantaneous rate, an integral for accumulated change, and checks their inverse relationship.

Розділ

Офіційні джерела

Джерела програми; порядок тем уточнюйте у школі та викладача.

Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής (ΙΕΠ)Official curriculum programmes and announcements.Ψηφιακό Σχολείο / Διαδραστικά Σχολικά ΒιβλίαOfficial school textbooks and available digital material.

Mathematics

Panhellenic Exams: структурований маршрут з математики та фізики з розділами, практикою і наступними кроками.

Назад до предмета

Що покриває глава

Структура відповідає підручнику й допомагає організувати вивчення теми.

Αρχική συνάρτηση στο τμήμα που προβλέπεται

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ιδιότητες ολοκληρώματος

Συνάρτηση ολοκλήρωμα

Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού

Εμβαδόν επίπεδου χωρίου

Εξαιρέσεις/περιορισμοί όπως ορίζονται στην επίσημη εξεταστέα ύλη

На чому сфокусуватися

Теми, де найчастіше виникають помилки або потрібна додаткова практика.

I connect limit, derivative, and integral with a graph.

I apply rules with the correct conditions.

I interpret the result in context.

Джерела, щоденні матеріали та ресурси

З чого почати: підручник, daily material, PDFs, videos і worked examples.

Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.

Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.

Check the current syllabus version before exam preparation.

Практика за підтемами

Цільова практика перед full tests, щоб coverage було зрозумілим.

For f(x)=x²+4x, find f'(x).

Find the gradient of f(x)=x²+7x at x=6.

Find ∫(3x+3)dx.

Evaluate ∫₀^5 6x dx.

Find the stationary point of f(x)=x²-4x+9.

If ds/dt=5t+4 and s(0)=9, find s(t).

Check whether F(x)=4x²+6x is an antiderivative of f(x)=8x+6.

A learner writes d(x³)/dx=3x. Correct it and explain the rule.

Mocks і перевірка прогресу

Як вимірювати прогрес у главі і коли додавати її до загального mock.

Start with untimed practice by subtopic.

Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.

Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.

Наступний крок

Що робити після глави і як вона пов'язана з наступним розділом.

Complete the practice without support.

Explain the core method aloud in under two minutes.

Continue to the next chapter or request targeted tutor support.

Примітка: офіційну екзаменаційну програму кожного року завжди уточнюйте у школі, викладача та за поточними офіційними джерелами.