Цілі навчання
- Recognise, explain, and apply “Πραγματικοί αριθμοί”.
- Recognise, explain, and apply “Συναρτήσεις”.
- Recognise, explain, and apply “Μονοτονία”.
- Recognise, explain, and apply “Ακρότατα”.
- Recognise, explain, and apply “Συμμετρίες”.
Panhellenic Exams / Mathematics / Curriculum
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for Panhellenic Exams.
Ключові ідеї та перевірки
- I move between formula, table, and graph.
- I interpret slope, intercepts, and key features.
- Every solution or explanation for “Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης” should include a method, justification, and final check.
Розділ
Основна теорія
Ключові ідеї глави у зрозумілій послідовності перед практикою.
Input-output relationship
A function maps each allowed input to one output. Formula, table, and graph are different representations of the same relationship.
Parameters and graph
Parameters change slope, position, amplitude, or rate of change. Read the key features before plotting individual points.
Domain and interpretation
The domain states which inputs are allowed. In a real model, also check whether the output is physically meaningful.
Πραγματικοί αριθμοί
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Συναρτήσεις
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Μονοτονία
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Ακρότατα
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Συμμετρίες
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Mathematics
Розв'язані приклади
Дотримуйтесь методу крок за кроком і перевіряйте обґрунтування.
Worked function example
For f(x) = 2x - 4, find f(3) and the x-intercept.
- 1Substitute x = 3: f(3) = 2·3 - 4.
- 2For the intercept set f(x) = 0: 2x - 4 = 0.
- 3Solve for x and check the point on the graph.
f(3) = 2, x-intercept = 4/2
Reasoning example
Before calculating, explain the key idea from “Πραγματικοί αριθμοί” and which conditions must be checked.
- 1Define the idea in one clear sentence.
- 2Connect it to a representation, law, or formula.
- 3State a restriction, unit, or final check that makes the solution valid.
The answer should show not only which rule is used for “Πραγματικοί αριθμοί”, but also why it is valid here.
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Практика з відповідями
Вісім завдань від базових навичок до екзаменаційного рівня. Спочатку виконайте самостійно.
Базова навичка4 хвилин
Solve 5x + 3 = 18.
Підказка
Subtract 3 from both sides, then divide by 5.
Відповідь
x = 3.
Базова навичка5 хвилин
Expand and simplify 8(x + 5) - 5x.
Підказка
Multiply every term inside the bracket.
Відповідь
8x + 40 - 5x = 3x + 40.
Застосування6 хвилин
Factorise 4x + 8.
Підказка
Take out the common factor 4.
Відповідь
4(x + 2).
Застосування7 хвилин
For f(x) = 7x + 4, find f(11) and solve f(x) = 32.
Підказка
Substitute, then solve the equation.
Відповідь
f(11) = 81; x = 4.
Обґрунтування8 хвилин
A sequence starts 6, 9, 12. Find its nth term and 10th term.
Підказка
The common difference is 3.
Відповідь
3n + 3; term 10 = 33.
Обґрунтування9 хвилин
Solve 6x + 3 > 21.
Підказка
Use equation steps; the coefficient of x is positive.
Відповідь
x > 3.
Екзаменаційний10 хвилин
Solve x + y = 14, x - y = 4.
Підказка
Add the two equations.
Відповідь
x = 9, y = 5.
Екзаменаційний12 хвилин
A learner writes 5(x + 2) = 5x + 2. Identify and correct the error.
Підказка
The outside factor multiplies every term.
Відповідь
5(x + 2) = 5x + 10.
Типові помилки
- Confusing f(x) with the product f times x.
- Plotting without a scale or key points.
- Ignoring domain and model restrictions.
Перевірка розуміння
- I move between formula, table, and graph.
- I interpret slope, intercepts, and key features.
- I state domain and relevant restrictions.
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Домашня робота до розділу
Шість різних завдань від базового рівня до складного з часом, підказками та відповідями.
Базовий8 хвилин
Homework 1: Solve 8x + 4 = 36.
Підказка
Subtract 4 from both sides, then divide by 8.
Відповідь
x = 4.
Базовий10 хвилин
Homework 2: Expand and simplify 4(x + 6) - 6x.
Підказка
Multiply every term inside the bracket.
Відповідь
4x + 24 - 6x = -2x + 24.
Поглиблений12 хвилин
Homework 3: Factorise 7x + 21.
Підказка
Take out the common factor 7.
Відповідь
7(x + 3).
Поглиблений15 хвилин
Homework 4: For f(x) = 3x + 5, find f(8) and solve f(x) = 20.
Підказка
Substitute, then solve the equation.
Відповідь
f(8) = 29; x = 5.
Складний18 хвилин
Homework 5: A sequence starts 2, 8, 14. Find its nth term and 10th term.
Підказка
The common difference is 6.
Відповідь
6n + -4; term 10 = 56.
Складний20 хвилин
Homework 6: Solve 9x + 4 > 40.
Підказка
Use equation steps; the coefficient of x is positive.
Відповідь
x > 4.
50 хвилин / 40 балів
Повний тест розділу
Повний тест із таймером, балами та зразками відповідей.
Start the timer when ready, work without notes, show every step, and open model answers only after finishing.
1. Solve 6x + 4 = 28.
2 балівВідповідь
x = 4.
2. Expand and simplify 9(x + 6) - 6x.
3 балівВідповідь
9x + 54 - 6x = 3x + 54.
3. Factorise 5x + 15.
3 балівВідповідь
5(x + 3).
4. For f(x) = 8x + 5, find f(13) and solve f(x) = 45.
4 балівВідповідь
f(13) = 109; x = 5.
5. A sequence starts 2, 6, 10. Find its nth term and 10th term.
4 балівВідповідь
4n + -2; term 10 = 38.
6. Solve 7x + 4 > 32.
4 балівВідповідь
x > 4.
7. Solve x + y = 9, x - y = -3.
5 балівВідповідь
x = 3, y = 6.
8. A learner writes 6(x + 3) = 6x + 3. Identify and correct the error.
5 балівВідповідь
6(x + 3) = 6x + 18.
9. Model this: 5 tickets cost x euros each plus a fixed 9 euros. Write the cost and find it for x = 14.
5 балівВідповідь
C = 5x + 9; C(14) = 79.
10. Represent “Όρια στο άπειρο” as an equation, a graph, and a verbal description of the same model.
5 балівВідповідь
Example y = 5x + 2: a line with gradient 5, intercept 2, meaning “starts at 2 and rises by 5 per unit”.
Розділ
Офіційні джерела
Джерела програми; порядок тем уточнюйте у школі та викладача.
Mathematics
Panhellenic Exams: структурований маршрут з математики та фізики з розділами, практикою і наступними кроками.
Що покриває глава
Структура відповідає підручнику й допомагає організувати вивчення теми.
Πραγματικοί αριθμοί
Συναρτήσεις
Μονοτονία
Ακρότατα
Συμμετρίες
Αντίστροφη συνάρτηση
Όριο συνάρτησης στο `x0`
Ιδιότητες ορίων
Μη πεπερασμένο όριο
Όρια στο άπειρο
Συνέχεια συνάρτησης
Θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων
На чому сфокусуватися
Теми, де найчастіше виникають помилки або потрібна додаткова практика.
I move between formula, table, and graph.
I interpret slope, intercepts, and key features.
I state domain and relevant restrictions.
Джерела, щоденні матеріали та ресурси
З чого почати: підручник, daily material, PDFs, videos і worked examples.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Практика за підтемами
Цільова практика перед full tests, щоб coverage було зрозумілим.
Solve 5x + 3 = 18.
Expand and simplify 8(x + 5) - 5x.
Factorise 4x + 8.
For f(x) = 7x + 4, find f(11) and solve f(x) = 32.
A sequence starts 6, 9, 12. Find its nth term and 10th term.
Solve 6x + 3 > 21.
Solve x + y = 14, x - y = 4.
A learner writes 5(x + 2) = 5x + 2. Identify and correct the error.
Mocks і перевірка прогресу
Як вимірювати прогрес у главі і коли додавати її до загального mock.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Наступний крок
Що робити після глави і як вона пов'язана з наступним розділом.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Примітка: офіційну екзаменаційну програму кожного року завжди уточнюйте у школі, викладача та за поточними офіційними джерелами.